Γραμμική παλινδρόμηση

Εισαγωγή

Το μαθηματικό μοντέλο αποτελεί ουσιαστικά  τη μαθηματική περιγραφή ενός φαινομένου. Τα λεγόμενα εφαρμοσμένα μαθηματικά έχουν ως άμεσο στόχο την εξερεύνηση μαθηματικών μοντέλων τα οποία ερμηνεύουν φαινόμενα που περιγράφονται από συγκεκριμένες παρατηρήσεις ή πειράματα. Η δημιουργία ενός μαθηματικού μοντέλου καλείται μοντελοποίηση. Σε γενικότερα πλαίσια η δημιουργία και χρήση μαθηματικών μοντέλων είναι απαραίτητη για την επίλυση των προβλημάτων της στατιστικής. Οι τεχνικές μοντελοποίησης χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, στην απλή γραμμική παλινδρόμηση και στην πολλαπλή παλινδρόμηση.

Μοντέλα γραμμικής παλινδρόμησης

Τα μοντέλα γραμμικής παλινδρόμησης θεωρούνται από τα πιο γνωστά μοντέλα, έχουν μελετηθεί διεξοδικά, είναι κατανοητά και μπορούν πολλά προβλήματα να μοντελοποιηθούν με τη χρήση τους. Στην περίπτωση που έχει συνταχθεί ένα μοντέλο παλινδρόμησης, είναι σημαντικό να γίνει η εκτίμηση  των παραμέτρων του μοντέλου από το διαθέσιμο σύνολο δεδομένων. Γενικά, σε ένα μοντέλο παλινδρόμησης οι άγνωστες τιμές  είναι  οι τιμές των συντελεστών β, ενώ οι τιμές της ανεξάρτητης και των εξαρτημένων μεταβλητών είναι γνωστές από το σύνολο.

Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων

Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων είναι μία από τις πολλές μεθόδους εκτίμησης των συντελεστών. Η μορφή της συνάρτησης κόστους είναι αυτό που χαρακτηρίζει τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων και επιδιώκει να ελαχιστοποιήσει. Οι συντελεστές β του μοντέλου υπολογίζονται με βάση το σύνολο με τέτοιο τρόπο ώστε το μοντέλο παλινδρόμησης να ταιριάζει όσο το δυνατόν καλύτερα γίνεται.

Μέθοδος σταδιακής καθόδου

Μία άλλη μέθοδος εκτίμησης των συντελεστών είναι η μέθοδος Σταδιακής καθόδου, η οποία επιχειρεί να βρει τους συντελεστές εκείνους όπου ελαχιστοποιούν μία συγκεκριμένη συνάρτηση κόστους. Ο τρόπος με τον οποίο η μέθοδος αυτή βρίσκει τους συντελεστές διαφέρει από τον τρόπο των ελαχίστων τετραγώνων, διότι βασίζεται σε επαναληπτική μέθοδο και δεν παρέχει κλειστούς τύπους υπολογισμού των συντελεστών. Γενικά είναι μια επαναληπτική διαδικασία βελτιστοποίησης της συνάρτησης και αναζητά τις τιμές που ελαχιστοποιούν την τιμή μίας συνάρτησης.

Αξιολόγηση  και ερμηνεία μοντέλων γραμμικής παλινδρόμησης

Τόσο η αξιολόγηση όσο και η ερμηνεία των μοντέλων γραμμικής παλινδρόμησης είναι αρκετά σημαντικές, διότι αποδίδουν νόημα στο μοντέλο και διατυπώνουν γνώμη σχετικά με το αν βγαίνουν χρήσιμα συμπεράσματα από αυτό. Και αυτό, καθώς η εκτίμηση των συντελεστών μπορεί να γίνει με ένα οποιοδήποτε γραμμικό μοντέλο παλινδρόμησης, το οποίο περιλαμβάνει οποιεσδήποτε  μεταβλητές, χωρίς να παίζει ρόλο  το αν η μελέτη της σχέσης μεταξύ των μεταβλητών έχει νόημα ή όχι.

Απλή παλινδρόμηση

Η απλή παλινδρόμηση είναι μια τεχνική μοντελοποίησης η οποία χρησιμοποιείται για τη διερεύνηση της σχέσης ανάμεσα σε μια εξαρτημένη και μια ανεξάρτητη μεταβλητή. Επίσης τα μοντέλα παλινδρόμησης μπορούν να χρησιμοποιηθούν και  ως μοντέλα πρόβλεψης.  Στην απλή παλινδρόμηση το ενδιαφέρον εστιάζει στην αναζήτηση του καλύτερου γραμμικού μοντέλου που υποδεικνύει τον τρόπο με τον οποίο μία ανεξάρτητη μεταβλητή έχει επίδραση σε μία ποσοτική μεταβλητή. Η μορφή του μοντέλου απλής γραμμικής παλινδρόμησης είναι: Yi0 + β1i + εi

Πολλαπλή παλινδρόμηση

Η πολλαπλή παλινδρόμηση είναι μία στατιστική τεχνική μοντελοποίησης που χρησιμοποιείται για τη μοντελοποίηση της σχέσης ανάμεσα σε μια εξαρτημένη μεταβλητή Υ με πολλαπλές ανεξάρτητες μεταβλητές Χi, πλήθους p. Τα μοντέλα παλινδρόμησης έχουν τη δυνατότητα να αξιοποιηθούν και ως μοντέλα πρόβλεψης και η μορφή της είναι η εξής: Υ = b0+ b1X1+ b2X2+…+ bpXp+ ε

Συμπεράσματα

Όσον αφορά την απλή γραμμική παλινδρόμηση, σκοπός είναι να βρεθεί η καλύτερη δυνατή ευθεία παλινδρόμησης. Ενώ, στην πολλαπλή παλινδρόμηση εστιάζουμε περισσότερο στο καλύτερο επίπεδο παλινδρόμησης. Το μοντέλο γραμμικής παλινδρόμησης περιγράφει επί της ουσίας ένα φαινόμενο και το ερμηνεύει μέσω των μεθόδων του.

Βιβλιογραφία

Πετρίδης, Δ. (2015). Ανάλυση πολυμεταβλητών τεχνικών. Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών. Διαθέσιμο στο: http://hdl. handle. net/11419/2126.